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いつかはになる気がする （翌日） しんご： おーい，あつおぉ，いるか～ あつお： おう．計算できた？ しんご： できたできた．２，３個でいいんだろう？ あつお： うん．ちょっと見せろ． しんご： ほい． あつお： おお．どれもになってるな．僕のも見てくれよ． しんご： なるほど．最後の，これオメェ，約分できるじゃん． あつお： あー，まぁそうなんだけど，約分していい，って問題文に書いてなかったから，一応そのままやってみた．でもやっぱりになったよ． きょうこ： こんにちは～～～～あつおくんいますか～～ あつお： おう，計算してみた？ きょうこ： したした～．途中でになるね． あつお： 見せろよ． きょうこ： はいこれ． しんご： もっと難しい例でやんなかったの？ きょうこ： え～だって，よりは難しいでしょ． しんご： オレらの見てみぃ．こういうのを難しいっていうんだよ． きょうこ： （書いたものをみて）こんな２桁の分数なんて考えてみもしなかったわ．でもやっぱりになるのね． あつお： まて，まあいいじゃない．ともかくだ．これだけ試してみたんだから，何か規則性が見えてきてもいいじゃないかなぁ． しんご： 規則性を見つけなきゃいけないんだから，あんまり簡単な例はだめなんだよ．ダメ． きょうこ： いじめなくたっていいじゃない． あつお： まて，まず，みんなで持ち寄った計算は合ってるんだろうな～？ しんご： 「逆数をとって小数部分をとる」だろ．大丈夫だと思うよ．たとえばだとするだろう．逆数を取るとだ．これは帯分数に直すとだから，小数部分はだよ．そうやって求めた． あつお： 「帯分数」か～．そういう発想はなかったな～ しんご： じゃあどうやったんだよ． あつお： 実際に小数に書き直してみて，それで小数部分をとってた．だとすると，逆数を取って．ここまでは同じだけど．ここで，だから，を引いてって計算してた． きょうこ： わたしはそのどちらとも違うやり方でやった～． あつお： え～いろいろあるなぁ．どうやったの？ きょうこ： だとすると，逆数を取って．ここまでは同じ．ここで，あまりだから，を引いてって計算してた．あまりを出すと，ちょうど新しい分子にあまりが出てくるのよね． あつお： なーるほど．新しい分数の分子をあまりから求めてるんだね． しんご： ま，どっちでも答えは同じだけどな． 分母が減る理由 あつお： ここに６つの例があるわけだけど・・・ きょうこ： わたし，法則性をひとつ見つけたよ． あつお： おお．何？教えて． きょうこ： 分母が減っていくの．分子も減っていくわね． しんご： そりゃあそうだろう．そんな当たり前のことは法則性とか言わないんだよ． あつお： まぁまぁ．これも規則性のうちだろう．第一，しんごはなぜ分母や分子が減っていくかを説明できるのかよ． しんご： う～～．確かに・・・ちょっと難しいかもな．あつおはわかるのかよ． あつお： 理由をきちんといえるわけじゃあないけど，「分母はひとつ前の数の分子と同じ」というのは見つけてるよ． しんご： そういえば，そうだな．\\ の分子はで，これは次のの分母になっているよな．の分子はで，これは次のの分母になってるよな． きょうこ： ねえ，そのことって，計算しているときに，ああ，いつでもそうなるなーーって私思ってたよ． あつお： え～～～どうして？？（ていうか，あの計算だけでそんなことわかるもんかなぁ） きょうこ： だってね， とすると，まず逆数を取るでしょう？そうするとじゃない．ここで，の分子が分母へと移るでしょう． あつお： 移るね． きょうこ： そしたらね，あとは小数部分をとるときには，あまり，みたいに計算するけど，結局分母はで変わらないのよ． あつお： なるほど．理由になっていると思うな．でもそういうのって，どうやって書けばいいの？これは一応テストの問題を解いているわけだから，こういう説明でいいのかなぁという気はするね． しんご： でも，こういうのを説明する方法って，学校で習ってないぞ． あつお： それが僕も困っているところだね． しんご： そういえば，ってとの間にあるから，いつでも真分数なんだよな． あつお： そりゃあそうだ．「小数部分」を取ってるんだからね．ということはそれぞれの分数について(分子)(分母)なわけか． しんご： だな． あつお： ・・・・・いや，しんご，いいこと言ったと思うぞ．分数は真分数だということから(分子)(分母)はいつでも成り立つ．そのうえで(分子)は(次の分数の分母)と等しいことが説明できれば (分母)(分子)(次の分数の分母) ということになるから，分母はどんどん小さくなっていくことが説明できるね． きょうこ： ねえ，数列がになる寸前って，みんなとか，分子がであるような気がするけれど． あつお： は分子がではないけど，これは約分すればやっぱりだしね． しんご： そっか．言われてみればそうだな．でもそれってあたりまえじゃないか？ あつお： どうして？ しんご： だって，「逆数をとって小数部分をとる」んだろう？の逆数をとれば，となって，小数部分は必ずだ．こういう，分子がであるような分数をなんというんだっけ？ きょうこ： 「単位分数」よ． しんご： そうそう，それそれ．単位分数の逆数は整数だろう？ あつお： そりゃまぁそうだな． しんご： だから，単位分数が出てくれば，その次はになるわけだ． きょうこ： わかるわ．
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の2個目の答えを発見！ （翌日） あつお： くやしいけど，さっぱりだな．寝ながらも考えてみたんだけどね． きょうこ： やっぱり，が何か特別な意味をもつのよ．あ，しんごくん，あの後何かわかった？ しんご： いや，なんかさ，ルート２の記号が頭の中をぐるぐる回ってさ，ルート２に追いかけまわされる夢見ちゃったよ． あつお： （単純なヤツ・・・）・・・・ きょうこ： 一個だけ，なんだか気になることがあるのよねー あつお： なに？なに？ヒントになるかもしれないから言ってみて． きょうこ： 「小数部分をとるためにを引いた」でしょう？あれって，じゃなきゃいけないのはどうして？ あつお： それはだって，以外はダメでしょう． きょうこ： だからどうして？ あつお： だって，を計算したら，で，この数はくらいの数なんだから，小数部分をとるためにはを引かないとだめでしょう？あたりまえじゃん． きょうこ： そっか・・・・．なんか変かな，って思ったんだけどね．何もないか～～．ざんねん． しんご： ちょっと待った．きょうこちゃんイイこと言ってないか？ あつお： そうか？ しんご： だってさ，小数部分をとるためにを引く，っていうのはだからでしょう？がほかの数だったら・・・・？ あつお： そっか！小数部分をとるためにを引くかもしれないし，を引くかもしれないんだ！スゲー！しんごスゲーよ．すぐにでも計算してみたくなったよ．ちょっと待て，昨日の計算メモを出すから・・・・・・ しんご： 早くしろよ． あつお： よしやるぞ．まず だろ． 逆数をとって 小数部分をとるためにを引いたとするわけだ． この状態で，だとすると・・・・ しんご： また２つ出てきたな． きょうこ： あ，でもマイナスのほうは負の数になりそうだから，違うんじゃない？ しんご： 以外の答えが出てきたな．だな． あつお： うっしゃ～～． しんご： じゃあ，を引く場合も計算してみるか！ きょうこ： あ，ちょっと待って，しんごくん． しんご： なんで待つの？答が求まったからいいだろ． きょうこ： って，ととの間にあるかな～なんて思ったんだけど，確かめられる？ しんご： あーーー．そっか．数の範囲があるんだっけ？こういうのってどうするの？ あつお： うーん．不等式を変形していけばいいんじゃないか？からを導いた要領だよ． からはじめるとよさそうだな． これはルートを取ったんだ． 1を引いてみた． $$1 -1+\sqrt{5} 2$ ２で割ってみた． うまくいったうまくいった～．大丈夫だね． しんご： たまたまだろ．たまたまうまくいったんじゃん． あつお： ま，ね．いーじゃん．コマカイこと言うなよ．ウマクいったんだから． これで全部か？ しんご： じゃ，を引く場合もやろうぜ． あつお： やろうやろう・・・じゃあ，かな．最後ののところだけ変えたんだよ． しんご： よさそうだな・・・・早く計算しろよ． きょうこ： ちょっと待って待って・・・ しんご： うるさいナァ．計算始めたらダマってろよ． きょうこ： 待ってって言ってるでしょう！ しんご： だ～か～ら～あつおが計算始めるからダマってろよ． きょうこ： 計算しなくてもいいかもよ． しんご： は？どして？ きょうこ： だから，ともかく待ってって．なんとなくピンときたのよ． あつお： どういうこと？説明できる？ きょうこ： う～～．ちょっと時間ほしいかも・・． あつお： どこにピンときたわけ？ きょうこ： やっぱり，以上，っていうのが気になるのよね～ あつお： どういう風に？ きょうこ： 「逆数をとって」ってやるでしょう？ あつお： うん． きょうこ： だと，逆数はになるでしょう？なんか，もういいんじゃないか，って気がするのよねぇ． あつお： ははあぁ・・・・・つまり，だから・・・・は以下だっていうことだね・・・・・そっか．だからなんだ！ しんご： どういうことなんだよ． あつお： つまり，だとすると，逆数は以下．つまり，ピッタリの場合を除けば，整数の部分はかなんだ． しんご： ということは・・・・ あつお： これ以上調べなくていい？ きょうこ： うん・・・・・\\ （みんな顔を突き合わせて） \item[{\bf みんな}]ヤッターーーー！ あつお： むっちゃウレシイ．おじさんのところに報告に行こう！ まとめ あつおくんたち，ヤッタね！きちんと「全部であること」も確かめられたよ．まずはであることから，でなけれいけないね．（はの小数部分だからね．）その上で，の式を立ててみる．だから，逆数はだ．このことから，の整数の部分はかの場合を確かめればいいね．の時にはから 整数部分がのときには と求まる．（が正の数であることも考慮しているよ．）よって答えはこの２つになる． 宿題 同じように考えるとの範囲に，となるがあることが分かるよ．実際にそのを求めてみよう．